Question

設函數f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）求導數f′（x）； 并證明f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂．

Answer 1

分析：f（x）=x′（x-1）（x-a）+x（x-1）′（x-a）+x（x-1）（x-a）′證明f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂．需證明f′（x）=0有兩個不同實根x₁，x₂，且根的兩邊f′（x）符號相反．

解答：解：f′（x）=（x-1）（x-a）+x（x-a）+x（x-1）=3x²-2（a+1）x+a，
∵△=4（a+1）²-12a=4a²-4a+4=4(a-

1

2

)2+3＞0，
∴f′（x）=0必有兩個不同實根x₁，x₂，（不妨設x₁＜x₂）
又∵f′（x）=的圖象開口向上，
∴-∞＜x＜x₁，或x₂＜x＜+∞時，f′（x）＞0，
x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，
∴f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂

點評：本題主要考查導數與極值的關系，若f（a）=0：a的左側f'（x）＞0，a的右側f'（x）＜0則a是極大值點；a的左側f'（x）＜0，a的右側f'（x）＞0則a是極小值點．屬于基礎知識，基本運算的考查．求導時，可用對各個因式分式分別求導，也可把式子展開后再求導．