Question

如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB、A₁B₁分別為圓O、圓O₁的直徑且A₁A⊥平面PAB．
（1）求證：BP⊥A₁P；
（2）若圓柱OO₁的體積V=12π，OA=2，∠AOP=120°，求三棱錐A₁-APB的體積．

Answer 1

分析：（1）根據AP⊥BP與AA₁⊥BP兩個條件證明BP⊥平面PAA₁，即可證明BP⊥A₁P．
（2）根據題意求出S_△PAB然后求出棱柱的高，即可求出體積．

解答：證明：（1）證明：易知AP⊥BP，
由AA₁⊥平面PAB，
得AA₁⊥BP，
且AP∩AA₁=A，
所以BP⊥平面PAA₁，
故BP⊥A₁P．
解：（2）由題意V=π•OA²•AA₁=4π•AA₁=12π，
解得AA₁=3．
由OA=2，∠AOP=120°，得
∠BAP=30°，BP=2，AP=2

3

，
∴S_△PAB=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴三棱錐A₁-APB的體積：
V=

1

3

S_△PAB•AA₁=

1

3

×2

3

×3=2

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，通過對知識的綜合考查，考查學生的綜合運用能力．屬于中檔題．