Question

如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB為圓O的直徑，圓柱OO₁的表面積為20π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求異面直線A₁B與AP所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）
（2）求點A到平面A₁PB的距離．

Answer 1

分析：本題宜建立空間坐標系，用空間向量來解決求線面角證線線垂直，求點到面 距離．
（1）由題設條件，以O為原點，分別以OB，OO₁為y，z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，建立空間直角坐標系，求出

A1B

與

AP

的坐標，用公式求出線線角的余弦即得．
（2）用向量法求點到面的距離，先求出平面A₁PB的法向量，再求線段對應的向量在面的法向量的投影的長度即可．

解答：（1）解：以O為原點，分別以OB，OO₁為y，z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，
建立空間直角坐標系．
由題意S_表=2π•2²+2π•2•AA₁=20π，解得AA₁=3．（2分）
易得相關點的坐標分別為：A（0，-2，0），P(

3

 ，1， 0)，A₁（0，-2，3），B（0，2，0）．
得

AP

=(

3

 ，3， 0)，

A1B

=(0，4 ，  -3)，（4分）
設

A1B

與

AP

的夾角為θ，異面直線A₁B與AP所成的角為α，
則cosθ=

A1B • AP

| A1B |•| AP |

=

2 3

5

＞0，得α=θ=arc cos

2 3

5

，（6分）
即異面直線A₁B與AP所成角的大小為arccos

2 3

5

．（7分）
（2）設平面A₁PB的法向量為

n

=(u，v，w)，則

n

⊥

A1B

，

n

⊥

BP

∵

A1B

=(0，4，-3)，

BP

=(

3

，-1，0)，

n

•

A1B

=0，

n

•

BP

=0
∴

4v-3w=0 3 u-v=0

?

w= 4 3 v u= 3 3 v

，（10分）
取v=3，得平面A₁PB的一個法向量為

n

=(

3

，3，4)，且|

n

|=2

7

，

A1A

=(0，0，-3)
所以點A到平面A₁PB的距離d=

| n • A1A |

| n |

=

12

2 7

=

6

7

7

．（14分）

點評：本考點是點、線、面間的距離計算、異面直線及其所成的角，本題宜建立空間坐標系，用空間向量來解決，故采用了向量法求點到面的距離，在做題時應根據題目的條件靈活選用解題的方法．