Question

已知圓的方程為，直線，設點．
（1）若點在圓外，試判斷直線與圓的位置關系；
（2）若點在圓上，且，，過點作直線分別交圓于兩點，且直線和的斜率互為相反數；
① 若直線過點，求的值；
② 試問：不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）直線與圓相交；
（2）①；②不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率總為定值

試題分析：（1）先由點A在園外得出，再利用點到直線距離公式求出圓O圓心O到直線的距離與半徑比較即可判定出直線與圓O的位置關系；（2）①由直線斜率公式求出直線AM的斜率，再由直線和的斜率互為相反數，知直線和的傾斜角互補，將角AMN用直線AM的傾斜角表示出來，利用誘導公式及二倍角公式即可求出；②設直線AM的斜率為k，寫出直線AM方程，與圓O聯立求出M點坐標，由題知AN的斜率為-k，同理求出M的坐標，利用斜率公式求出直線MN斜率，化簡可知是否為定值.
試題解析：（1）當點在圓外時，得，即
∴圓心到直線的距離，
∴ 直線與圓相交．                            5分
（2）①由點在圓上，且，，得，即．
記直線的傾斜角為，則，                   7分
又∵，  ∴ 直線的傾斜角為，
∴．    10分
②記直線的斜率為，則直線的方程為：．
將代入圓的方程得：，
化簡得：，
∵是方程的一個根，  ∴，  ∴，
由題意知：，同理可得，，             13分
∴，
∴，
∴ 不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率總為定值．         16分