Question

三個半徑為R的球互相外切，且每個球都同時與另兩個半徑為r的球外切．如果這兩個半徑為r的球也互相外切，則R與r的關系是（ ）
A．R=r
B．R=2r
C．R=3r
D．R=6r

Answer 1

【答案】分析：先設O₁，O₂，O₃分別是半徑為R的三個球的球心，C₁，C₂分別是半徑為r的兩個球的球心，將它們構成立體圖形（主體結構是三棱錐），再利用圓球與球相切時半徑之間的關系建立方程式即可求得R與r的關系．
解答：解：設O₁，O₂，O₃分別是半徑為R的三個球的球心，C₁，C₂分別是半徑為r的兩個球的球心，則它們構成立體圖形（如圖），H是△O₁O₂O₃的中心．因為△O₁O₂O₃是邊長為2R的正三角形，．又△C₁O₁H是以∠C₁HO₁為直角的直角三角形，故C₁O₁²=C₁H²+O₁H²，即，
解得R=6r．

點評：本題主要考查了球的性質、三棱錐的幾何特征，同時考查了轉化與化歸的思想，以及空間想象力和計算能力，屬于中檔題．