Question

已知拋物線

（1）若求該拋物線與軸公共點的坐標；

（2）若且當時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍；

（3）若且時，時，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）和 （2）當 或 時，拋物線在時與軸有且只有一個公共點. (3)當時，拋物線與軸有兩個公共點.

【解析】本題考查了求二次函數的解析式等相關的知識，同時還滲透了分類討論的數學思想，是一道不錯的二次函數綜合題．

（1）將a、b、c的值代入拋物線后求得解析式，令y=0求出x的值就是交點坐標的橫坐標；

（2）根據其在此范圍內有一個交點，此時將兩個值代入，分別大于零和小于零，進而求出相應的取值范圍．

（3）因為由題意可得，當時，即當時，

結合可得，

因為   ，所以  分析得到a,b的符號，然后結合判別式判定交點問題。

解：（1）當拋物線為

令解得，

所以，拋物線與軸的公共點的坐標為和  ……2分

（2）當時，拋物線為.

令，解之，得.

①若拋物線與軸只有一個公共點，由題意，

可得解之，得

②若拋物線與軸有兩個公共點，由題意，可得

或

所以，或故.

綜上所述，當 或 時，

拋物線在時與軸有且只有一個公共點.                  ……..8分

(3)由題意可得，當時，即當時，

結合可得，

因為   ，所以 

又     ，    所以              ……10分

令  即  所以，此方程的判別式為 

因為   所以  所以 

因為  所以  故 

所以 拋物線與軸有且只有兩個不同的交點.                  ……….13分

因為，所以拋物線的頂點的縱坐標小于零。

因為    所以 

因為  拋物線的對稱軸為所以

又當時，時，所以當時，

拋物線與軸有兩個公共點.                          ……16分