Question

已知函數f（x）=

2-ax

a-1

（a≠1）．
（1）若a＞0，則f（x）的定義域為

 

；
（2）若f（x）在區間（0，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）由根式內部的代數式大于等于0，結合a的范圍求解函數的定義域；
（2）分a＞0，a=0，a＜0三種情況分析，當a＞0時，根式內部的函數為一次函數，且為減函數，開方不改變單調性，只需在區間（0，1]上根式有意義，且a-1大于0即可；當a=0時為常數函數，不滿足題意；當a＜0時，根式在區間（0，1]上有意義且為增函數，而a-1＜0，滿足題意．

解答：解：（1）由2-ax≥0，得ax≤2，
∵a＞0，∴x≤

2

a

．
∴a＞0時，f（x）的定義域為(-∞，

2

a

]；
（2）當a＜0時，a-1＜0，-a＞0，函數g（x）=

2-ax

在（0，1]上是增函數，且2-ax＞0恒成立，
∴f（x）在區間（0，1]上是減函數；
當a=0時，函數f（x）=-

2

為常數函數，不滿足題意；
當a＞0時，函數t=2-ax為減函數，則g（x）=

2-ax

為減函數，要滿足函數f（x）在區間（0，1]上是減函數，
則

a-1＞0 2-a≥0

，解得：1＜a≤2．
綜上，滿足f（x）在區間（0，1]上是減函數的實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，2]．
故答案為：（1）(-∞，

2

a

]；（2）（-∞，0）∪（1，2]．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了復合函數單調性的性質，訓練了分類討論的解題思想方法，屬中高檔題．