Question

已知曲線f(x)=

1

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x3-ax+4在x=1處的切線方程是y=-3x+b．
（1）求實數a和b的值；
（2）若函數y=f（x）-m在區間（0，+∞）上有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用曲線f(x)=

1

3

x3-ax+4在x=1處的切線方程是y=-3x+b，結合導數的幾何意義，列出方程，解出a、b即可；
（2）函數y=f（x）-m在區間（0，+∞）上有零點，即方程函數f（x）=m在區間（0，+∞）上有解，故只須m在函數y=f（x）（x∈（0，+∞））的值域內即可，故利用導數求函數y=f（x）（x∈（0，+∞））的最值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

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x3-ax+4，∴f'（x）=x²-a，依題意得
∴f′（1）=1-a=-3，∴a=4；
又可得切點坐標為（1，

1

3

），代入切線的方程y=-3x+b，得b=

10

3

．
（2）由f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），令f'（x）=0
解得x=-2或x=2；當f'（x）＞0時，解得 x＜-2或x＞2；當f'（x）＜0，解得-2＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）上遞增，
故f（2）=-

4

3

為最小值．
要使y=f（x）-m在區間（0，+∞）上有零點，
則m≥-

4

3

．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，導數的綜合運用以及數形結合的運用能力，對學生有一定的能力要求，有一定的難度．