Question

若m，n為正整數，且logam+loga(1+

1

m

)+loga(1+

1

m+1

)+…+loga(1+

1

m+n-1

)=log_am+log_an，則m+n=

 

．

Answer 1

分析：先對所求的和式左邊進行化簡，把真數整理成商的形式，再拆成兩個對數差，則前后兩個對數消去后化為最簡，再由題意求出m+n的值．

解答：解：logam+loga(1+

1

m

)+loga(1+

1

m+1

)+…+loga(1+

1

m+n-1

)
=log_am+[log_a^（m+1）-log_a^m]+[log_a^（m+2）-log_a^（m+1）]+…+[log_a^（m+n）-log_a^（m+n-1）]
=log_a^（m+n），
則log_a^（m+n）=log_am+log_an=log_a（mn），即m+n=mn．
∵m，n為正整數，∴m=n=2，則mn=4
故答案為：4．

點評：本題的考點是對數的運算性質，即把對數拆成兩個對數的差，發現此式子由一定的規律性，前后項可以相消，化為最簡后根據對數相等求出．