Question

如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設,過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ； (Ⅱ)參考解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為右焦點為F(2，0)，所以可得c=2,又因為過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.所以.再利用橢圓中的關系式.即可求出b的值，從而可得結論.

(Ⅱ)假設.通過以及點在橢圓上，消去.即可得一個用表示的一個等式.又由于.通過對比向量與即可得結論.

試題解析：（1）由題意可知：，則，，從而，故所求橢圓的方程為． 5分

（2）解：三點共線.

證明：，由已知得方程組

注意到，解得，因為，所以

,

又

，所以，從而三點共線。 12分

考點：1.橢圓的基本性質.2.向量的共線問題.3.橢圓的標準方程.