Question

已知
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的,恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）極大值，極小值1；（2）參考解析；（3）

解析試題分析：（1）由已知，求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，又.即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求得極值.
（2）當(dāng)時(shí)， 的導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，得到兩個(gè)零點(diǎn).所以要討論的大小，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.
（3）因?yàn)閷?duì)任意的,恒有成立.即求出的最大值.所以恒成立.再利用分離變量，即可得結(jié)論.
試題解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). 在 上是增函數(shù)
∴的極大值為，的極小值.

①當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是增函數(shù)，
∴
由對(duì)任意的a∈(2, 4)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，
∴
即對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
由于，∴.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值.2.函數(shù)的單調(diào)性.3.函數(shù)恒成立的問題.4.構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的最值解決恒成立的問題.