Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(0＜a，0＜b)的右準線與兩漸近交于A，B兩點，點F為右焦點，若以AB為直徑的圓經過點F，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2 3

  3

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：關鍵是條件“以AB為直徑的圓經過點F”如何用，故先計算FC的長，再計算AB的長，利用|AB|=2|FC|，建立雙曲線特征值a、b、c間的等式，解方程即可得雙曲線的離心率

解答：解：依題意設AB的中點為C，則C（

a2

c

，0），F（c，0），∴|FC|=c-

a2

c

=

c2-a2

c

=

b 2

c

將x=

a2

c

代入雙曲線漸近線方程y=

b

a

x，得y=

b

a

•

a2

c

=

ab

c

，∴|AB|=

2ab

c

∵以AB為直徑的圓經過點F，∴|AB|=2|FC|
∴

2ab

c

=

2b 2

c

，即a²=b²，即c²=2a²
∴雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2

故選D

點評：本題考察了雙曲線的標準方程和幾何性質離心率的求法，解題時要熟練的將幾何條件進行轉化，具有一定的代數變換能力