Question

已知函數f(x)=

7x+5

x+1

，數列{a_n}滿足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．數列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列；（2）求數列{|b_n|}的前n項和T_n；
（3）是否存在自然數n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，由此能夠證明數列{

1

an

}是等差數列．
（2）由b₁=f（0）=5，知

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，7a₁-2=5a₁，所以a₁=1，

1

an

=1+(n-1)

1

2

，所以 an=

2

n+1

.bn=

7an-2

an

=7-(n+1)=6-n．由此能求出T_n．
（3）不存在這樣的自然數．如果存在必定n＞7，而在n＞7時T_n是遞增的，而n=36時，T_n=480，n=37時，T_n=511，所以不存在這樣的自然數．

解答：解：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以，數列{

1

an

}是等差數列．
（2）∵b₁=f（0）=5，
∴

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，
7a₁-2=5a₁，
∴a₁=1，

1

an

=1+(n-1)

1

2

，
∴an=

2

n+1

.bn=

7an-2

an

=7-(n+1)=6-n．
當n≤6時，Tn=

n

2

(5+6-n)=

n(11-n)

2

，
當n≥7時，Tn=15+

n-6

2

(1+n-6)=

n2-11n+60

2

．
所以，Tn=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n≥7

（3）不存在這樣的自然數．
如果存在必定n＞7，
而在n＞7時T_n是遞增的，
而n=36時，
T_n=480，
n=37時，T_n=511，
所以不存在這樣的自然數．

點評：本題數列的性質和應用，數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意數列的遞推式的合理運用．