Question

正四面體的各頂點為A₁，A₂，A₃，A₄，進入某頂點的動點X不停留在同一個頂點上，每隔1秒鐘向其他三個頂點以相同的概率移動．n秒后X在A_i（i=1，2，3，4）的概率用P_i（n）（n=0，1，2…）表示．當P1(0)=

1

4

，P2(0)=

1

2

，P3(0)=

1

8

，P4(0)=

1

8

時，
（1）求P₂（1），P₂（2）；
（2）求P₂（n）與P₂（n-1）的關系（n∈N^*）及P₂（n）關于n的表達式，P₁（n）關于n的表達式．

Answer 1

分析：（1）P₂（1）即1秒后動點在A₂的概率，它有三種情況：開始時（0秒）在A₁，1秒后移動到A₂；開始時在A₃，1秒后移動到A₂；開始時在A₄，1秒后移動到A₂．根據這三種結果互斥得到結論．
（2）n秒后動點在A₂，即n-1秒后動點不在A₂，其概率為1-P₂（n-1），得到概率之間的關系是數列遞推關系，從概率問題自然地過渡到數列問題，再用數列的辦法解決．

解答：解：（1）P₂（1）即1秒后動點在A₂的概率，它有三種情況；
①開始時（0秒）在A₁，1秒后移動到A₂；
由題意知，每隔1秒鐘動點X從一個頂點移動到另一個頂點的概率均為

1

3

；
所以這種情況的概率為：P₁（0）×

1

3

=

1

12

；
②開始時在A₃，1秒后移動到A₂；其概率為：P₃（0）×

1

3

=

1

24

；
③開始時在A₄，1秒后移動到A₂；其概率為：P₄（0）×

1

3

=

1

24

；
又這三種情況互斥，
∴P₂（1）=

1

12

+

1

24

+

1

24

=

1

6

．
我們設想一下，如果仍然按這個辦法計算P₂（2），
將不勝其煩，因為首先要算P₁（1）、P₃（1）、P₄（1）；
事實上1秒后動點在A₂，即開始時（0秒）動點不在A₂，其概率為：1-P₂（0）=

1

2

，
而每隔1秒鐘動點X從一個頂點移動到另一個頂點的概率均為

1

3

；
所以P₂（1）=

1

2

×

1

3

=

1

6

．類似的，2秒后動點在A₂，
即1秒后動點不在A₂，其概率為：1-P₂（1）=

5

6

，
∴P₂（2）=

5

6

×

1

3

=

5

18

；
（2）n秒后動點在A₂，即n-1秒后動點不在A₂，
其概率為：1-P₂（n-1），
∴P₂（n）=[1-P₂（n-1）]×

1

3

．
至此，問題化歸為數列問題．即：已知數列{P₂（n）}滿足：
P₂（n）=-

1

3

P₂（n-1）+

1

3

，求通項公式．
用待定系數法構造等比數列，
設P₂（n）+x=-

1

3

[P₂（n-1）+x]，得x=-

1

4

，可見
數列{P₂（n）-

1

4

}是以-

1

3

為公比的等比數列，其首項為P₂（1）-

1

4

=-

1

12

∴P₂（n）-

1

4

=-

1

12

(-

1

3

)n-1，P₂（n）=

1

4

-

1

12

(-

1

3

)n-1．
完全類似地，可得P₁（n）=-

1

3

P₁（n-1）+

1

3

，于是有P₁（n）-

1

4

=-

1

3

[P₁（n-1）-

1

4

]
但P₁（1）-

1

4

=0，
∴數列{P₁（n）}是常數列，即P₁（n）=

1

4

．

點評：本題的關鍵是第n秒后動點在某一頂點即意味著第n-1秒后動點不在該頂點，由此反映的它們的概率之間的關系正是數列的前后項之間的關系即遞推關系，于是從概率問題自然地過渡到數列問題，再用數列的辦法解決之．