Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的極大值；

（2）證明：當時，在恒成立.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）對函數求導，令導數為零，劃分函數的單調區間，根據單調性即可求得函數的極大值；

（2）對參數進行分類討論，要證在區間恒成立，即證恒成立；故而在參數的不同情況下，求得函數的最小值，通過證明函數的最小值大于等于零，從而證明恒成立.

（1）當時，

故，

令，解得，

故當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

故的極大值為.

（2）因為，

故可得

因為，故；

故①當時，，則在區間恒成立，且不恒為零，

則在區間上單調遞增，

則>0

故當時，在區間上恒成立；

②當時，令，解得，

故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

則

令，

則，則，

因為，故

即可得在區間上恒成立，

故在區間上單調遞減，

則，故在區間上恒成立，

則在區間上單調遞減，

則，

也即函數在區間上恒成立，

故當時，恒成立.

也即時，在區間上恒成立.

綜上所述：當時，在區間上恒成立.

即證.