Question

(1)已知f(1＋)＝－1，求f(x)．

(2)已知一次函數y＝f(x)滿足f[f(x)]＝2x－1，試求函數y＝f(x)的表達式．

(3)已知函數的定義域為非零實數組成的集合，且滿足3f(x)＋2f()＝4x，求函數y＝f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)方法一：由已知f(1＋)＝(1＋)2－2(1＋)，則f(x)＝x2－2x． 　　因為1＋≠1，故f(x)＝x2－2x，(x≠1)． 　　方法二：設t＝1＋≠1，所以x＝，所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x，(x≠1)． 　　(2)因為f(x)為一次函數，故可設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則有 　　f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f[f(x)]＝2x－1， 　　所以解得或 　　所以f(x)＝或f(x)＝． 　　(3)從題給條件看，只要設法消去f()，即可求得f(x)． 　　因為3f(x)＋2f()＝4x，用代換該式中的x，得3f()＋2f(x)＝， 　　上述兩式組成方程組，消去f()，可得f(x)＝． 　　點評：求函數解析式的常用方法有： 　　(1)配湊法和換元法 　　如果已知復合函數f[g(x)]的表達式，要求f(x)的解析式時，若f[g(x)]的表達式右邊易配成g(x)的運算形式，則可用配湊法求f(x)的解析式；若在方程t＝g(x)中易求出x＝g(t)，用換元法求f(x)的解析式．但要注意無論是配湊法還是換元法，所求函數的定義域必須滿足兩個條件：是函數t＝g(x)的值域，且使f(x)的解析式有意義．配湊法和換元法：易配湊時配湊法，易求x時換元法． 　　(2)待定系數法：已知函數的類型(如一次函數，二次函數，反比例函數等)，一般的方法是設出函數的解析式，然后根據題設條件求待定系數． 　　(3)賦值法(列方程組法)：求抽象函數的解析式，有時要通過取特殊值，或以變量換變量，然后通過解方程組求出解析式．此法又稱為列方程組法．

提示：

已知復合函數表達式求簡單函數的表達式用換元法或配湊法．已知函數類型的用待定系數法，抽象函數求表達式用列方程組法．