Question

已知當|x|很小的時候，標準正態分布密度函數f（x）=

1

2π

e-

x2

2

可用函數g（x）=

1

2π

(1-

x2

2

)近似，若隨機變量ξ服從標準正態分布，則下列說法中正確的是

 

．
①當x₁＞0時，有p（-x₁≤ξ≤x₁）=2p（0≤ξ≤x₁）；＜BR②當
②當x₁＞x₂＞0 時，有p（ξ≥x₂）＞1-p（ξ≤x₁）；
③當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，有p(x1≤ξ≤x2)≈

1

2π

[(x2-

x 3 2

6

)-x1-

x 3 1

6

)]；
④當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，有p(x1≤ξ＜x2)≈

1

2π

(x1-x2)．

Answer 1

分析：根據ξ服從正態分布，先將標準正態分布密度函數轉化成函數g（x）=

1

2π

(1-

x2

2

)近似，最后利用g（x）的圖象與性質計算來表示出概率即可．

解答：解：先作出g（x）的圖象，如圖．
對于①由于分布密度函數關于y軸對稱，故當x₁＞0時，有p（-x₁≤ξ≤x₁）=2p（0≤ξ≤x₁）；
得①正確；
對于②由于分布密度函數與x軸所圍成的面積為1，故有：當x₁＞x₂＞0 時，有p（ξ≥x₂）＞1-p（ξ≤x₁）；得②正確；
對于③當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，
可得p(x1≤ξ≤x2)≈

1

2π

[(x2-

x 3 2

6

)-x1+

x 3 1

6

)]，故原式不能成立，③不正確；
對于④，當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，式子p(x1≤ξ＜x2)≈

1

2π

(x1-x2)不成立，故④不正確．
故答案為：①②

點評：本小題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．