Question

已知函數f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4x定義域為[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判斷g（x）的單調性；
（3）若g（x）=m有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由函數f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2解出3^a的值，整體代入g（x）=3^ax-4x中得到g（x）=2^x-4x，
（2）對g（x）=2^x-4x求導，用導數判斷函數在[-1，1]上的單調性；
（3）令m屬于g（x）的值域，可保證g（x）=m有解，故求m的范圍的過程可轉化為求g（x）的值域．

解答：解：（1）由函數f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2可得3^a+2=18，故9×3^a=18，得3^a=2
又g（x）=3^ax-4x=（3^a）^x-4x=2^x-4x
故g（x）=2^x-4x，x∈[-1，1]．
（2）∵g'（x）=ln2×2^x-4是一增函數，
又x∈[-1，1]，故可得g'（1）=ln2×2-4＜0
∴g（x）=2^x-4x，在[-1，1]上是減函數．
（3）由（2）知函數在[-1，1]上是減函數．
故-2≤g（x）≤

9

2

∵g（x）=m有解，
故m的取值范圍是[-2，

9

2

]

點評：本題的考點是指數函數單調性的應用，考查運用指數函數的單調性求值域，本題把求m的范圍的問題可轉化為求g（x）的值域，在求解數學問題時，合理的正確的轉化是求解成功的關鍵．