Question

(本小題滿分12分)

已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．

（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；.         

（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，

∴化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，∴中點(diǎn)的軌跡方程為（）.

（2）曲線，

即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑

由圖可知，當(dāng)時(shí)，曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.