Question

 

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，⊥平面，，、分別是、的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：⊥；

（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

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Answer 1

【答案】

【解析】（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，

可得為正三角形。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052409443251563895/SYS201205240946233125531363_DA.files/image006.png">為的中點(diǎn)，所以。 …………1分

又∥，因此。…………………………………………………2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052409443251563895/SYS201205240946233125531363_DA.files/image011.png">平面，平面，所以。 ………3分

而，所以平面。 ………………………………4分

又平面，所以。 ……………………………………5分

（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接、

由（Ⅰ）可知：平面，

則為與平面所成的角。……………………………………………6分

在中，，

所以當(dāng)最短時(shí)，最大， ………………………………………………7分

即當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)。www.7caiedu.cn           

因此。又，所以，于是。 ……………………8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052409443251563895/SYS201205240946233125531363_DA.files/image033.png">⊥平面，平面，

所以平面平面。  …………………………………………9分

過作于，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知：平面，

過作于，連接，

則由三垂線定理可知：為二面角的平面角。  ……………………10分

在中，，

又是的中點(diǎn)，在中， www.7caiedu.cn           

又  ………………………………11分

在中， 

即二面角的余弦值為。  ………………………………12分