Question

【題目】已知函數.

（1）設，求的最大值及相應的值；

（2）對任意正數恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，取得最大值；（2）

【解析】

（1）先化簡函數g（x）＝lnx﹣f′（x）f（x）＝lnx﹣（2x﹣1）（x2﹣x），從而求定義域；再求導g′（x）；從而確定函數的最大值及相應的值；

（2）f（x）+f（）≥（x）lnm可化為x2﹣x（x）lnm；從而化為lnm；化簡得1＝（x）1；從而利用換元法求函數的最值，從而化恒成立問題為最值問題．

（1）∵，∴，

∴

則

∵的定義域為，∴

①當時，；②當時，；③當時，

因此在上是增函數，在上是減函數，

故當時，取得最大值.

（2）由（1）可知，

不等式可化為①

因為，所以（當且僅當取等號）

設，則把①式可化為，即（對恒成立）

令，此函數在上是增函數，

所以的最小值為

于是，即.