Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每條棱長均為2，PA₁⊥平面ABC，PA₁=2，E為BC中點．
（1）求證：PB₁∥面AEC₁；
（2）求PB₁與C₁E所成的角；
（3）求點A到面PB₁C₁的距離．

Answer 1

分析：（1）設AC₁、A₁C的交點為O，連結OE．由正三棱柱的性質，證出四邊形PA₁BB₁是平行四邊形，得PB₁∥A₁B．利用三角形中位線定理證出A₁B∥OE，得PB₁∥OE，利用線面平行的判定定理，即可證出PB₁∥面AEC₁；
（2）取B₁C₁中點F，連BF，由異面直線所成角的定義得∠A₁BF為PB₁與C₁E所成的角．在△A₁BF中算出各邊的長，由余弦定理算出cos∠A₁BF的值，即可得到PB₁與C₁E所成的角的大��；
（3）連A₁F，PF，△A₁B₁C₁為正三角形可得A₁F⊥B₁C₁，利用線面垂直的判定與性質和面面垂直判定定理，證出平面PB₁C₁⊥平面PA₁F．作A₁H⊥PF于H，可得A₁H⊥面PB₁C₁，即A₁H為A₁到面PB₁C₁的距離．Rt△PA₁F中，算出斜邊上的高A₁H的長，結合AP=2A₁P可得點A到面PB₁C₁的距離．

解答：解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，PA₁

∥

.

BB₁
∴四邊形PA₁BB₁是平行四邊形，可得PB₁∥A₁B．
設AC₁、A₁C的交點為O，連結OE，可得OE是△A₁BC的中位線，
∴A₁B∥OE，可得PB₁∥OE．
∵PB₁?平面AEC₁，OE?平面AEC₁，∴PB₁∥面AEC₁；
（2）取B₁C₁中點F，連BF，可得BF∥C₁E，
又∵PB₁∥A₁B，∴∠A₁BF為PB₁與C₁E所成的角．
∵在△A₁BF中A1B=2

2

，BF=

5

，A1F=

3

，
∴由余弦定理，得cos∠A1BF=

8+5-3

2×2 2 × 5

=

10

4

，
即得PB₁與C₁E所成的角為arccos

10

4

（3）連A₁F、PF，
∵△A₁B₁C₁為正三角形，∴A₁F⊥B₁C₁
又∵PA₁⊥面A₁B₁C₁，∴PF⊥B₁G，
∵A₁F、PF是平面PA₁F內的相交直線，∴B₁C₁⊥平面PA₁F，
∵B₁C₁?平面PB₁C₁，∴平面PB₁C₁⊥平面PA₁F
作A₁H⊥PF于H，可得A₁H⊥面PB₁C₁，即A₁H為A₁到面PB₁C₁的距離．
∵Rt△PA₁F中，PA1=2，A1F=

3

，
∴PF=

PA12+A1F2

=

7

，得A1H=

2×3

7

=

2 21

7

，
又∵AP=2A₁P，∴點A到面PB₁C₁的距離等于

4 21

7

．

點評：本題在正三棱柱中證明線面平行，并求異面直線所成角的大小和點到平面的距離，著重考查了空間垂直與平行位置關系的判斷與證明、點到平面面的距離和異面直線所成角的計算等知識，屬于中檔題．