Question

已知函數f（x）=

3

sinx+cosx，x∈R
（1）若α是第一象限角，且cosα=

1

2

，求f（π-α）的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由α為第一象限角，及cosα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，將x=π-α代入函數?（x）解析式，計算即可得到結果；
（2）函數?（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可得出?（x）的值域．

解答：解：（1）由α是第一象限角，且cosα=

1

2

，得sinα=

1-cos2α

=

3

2

，
∴?（π-α）=

3

sin（π-α）+cos（π-α）=

3

sinα-cosα=

3

×

3

2

-

1

2

=1；
（2）?（x）=

3

sinx+cosx=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=2sin（x+

π

6

），
由0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，
∴1≤2sin（x+

π

6

）≤2，即?（x）的值域為[1，2]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．