Question

在△ABC中，已知A=45°，cosB=

4

5

．
（1）求sinC的值；
（2）若BC=10，D為AB的中點，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據B為三角形的內角，利用同角三角函數的關系算出sinB=

3

5

，從而得到sin（A+B）的值，再由三角形內角和定理與誘導公式，可得sinC的值；
（2）根據正弦定理算出AB=

BC•sinC

sinA

=14，得到BD=

1

2

AB=7，然后在△BCD中利用余弦定理加以計算，可得線段 CD的長．

解答：解：（1）∵在△ABC中，cosB=

4

5

＞0，
∴B為銳角，可得sinB=

1-cos2A

=

3

5

．
∵△ABC中，A+B=π-C，∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
由此可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

7 2

10

．
（2）∵△ABC中，BC=10，A=45°，sinC=

7 2

10

，
∴由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

，得AB=

BC•sinC

sinA

=

10× 7 2 10

2 2

=14，
又∵D為AB中點，可得BD=7．
∴在△BCD中根據余弦定理，
可得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cosB=10²+7²-2×10×7×

4

5

=37
解之得CD=

37

（舍負）．

點評：本題給出△ABC的兩個角的三角函數值，求第三個角的正弦之值，并在已知BC長的情況下求中線CD的長．著重考查了同角三角函數的基本關系與誘導公式、兩角和的正弦公式和正余弦定理等知識，屬于中檔題．