Question

如果項數均為n（n≥2，n∈N⁺）的兩個數列{a_n}，{b_n}滿足a_k-b_k=k（1，2，…，n），且集合{a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n}={1，2，3，…，2n}，則稱數列{a_n}，{b_n}是一對“n項相關數列”．
（Ⅰ）設{a_n}，{b_n}是一對“4項相關數列”，求a₁+a₂+a₃+a₄和b₁+b₂+b₃+b₄的值，并寫出一對“4項相關數列”{a_n}，{b_n}；
（Ⅱ）是否存在“15項相關數列”{a_n}，{b_n}？若存在，試寫出一對{a_n}，{b_n}；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）對于確定的n，若存在“n項相關數列”，試證明符合條件的“n項相關數列”有偶數對．

Answer 1

分析：（I）依題意可求得a₁+a₂+a₃+a₄和b₁+b₂+b₃+b₄的和與差，從而求得a₁+a₂+a₃+a₄和b₁+b₂+b₃+b₄的值，再舉例．
（II）利用反證法，假設存在15項相關數列，可求得2（a₁+a₂+…+a₁₅）=585，從而得出矛盾，即證明不存在．
（III）對于確定的n，任取一對“n項相關數列”{a_n}，{b_n}，令c_k=2n+1-b_k，d_k=2n+1-a_k（k=1，2，…，n），證明{c_n}，{d_n}也必為“n項相關數列”．說明符合條件的“n項相關數列”有偶數對．

解答：解：（Ⅰ）依題意，a₁-b₁=1，a₂-b₂=2，a₃-b₃=3，a₄-b₄=4，相加得，
a₁+a₂+a₃+a₄-（b₁+b₂+b₃+b₄）=10，又a₁+a₂+a₃+a₄+b₁+b₂+b₃+b₄=36，
則a₁+a₂+a₃+a₄=23，b₁+b₂+b₃+b₄=13．
“4項相關數列”{a_n}：8，4，6，5；{b_n}：7，2，3，1（不唯一）
（“4項相關數列”共6對：{a_n}：8，5，4，6；{b_n}：7，3，1，2
或{a_n}：7，3，5，8；{b_n}：6，1，2，4
或{a_n}：3，8，7，5；{b_n}：2，6，4，1
或{a_n}：2，7，6，8；{b_n}：1，5，3，4
或{a_n}：2，6，8，7；{b_n}：1，4，5，3
或{a_n}：8，4，6，5；{b_n}：7，2，3，1
（Ⅱ）不存在．
理由如下：
假設存在“15項相關數列”{a_n}，{b_n}，
則a₁-b₁=1，a₂-b₂=2，…，a₁₅-b₁₅=15，相加，得（a₁+a₂+…+a₁₅）-（b₁+b₂+…+b₁₅）=120
又由已知a₁+a₂+…+a₁₅+b₁+b₂+…+b₁₅=1+2+…+30=465，由此2（a₁+a₂+…+a₁₅）=585，顯然不可能，所以假設不成立．
從而不存在“15項相關數列”{a_n}，{b_n}
（Ⅲ）對于確定的n，任取一對“n項相關數列”{a_n}，{b_n}，
令c_k=2n+1-b_k，d_k=2n+1-a_k（k=1，2，…，n），
先證{c_n}，{d_n}也必為“n項相關數列”．
因為c_k-d_k=（2n+1-b_k）-（2n+1-a_k）=a_k-b_k=k（k=1，2，…，n），
又因為{a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n}={1，2，3，4，…，2n}，很顯然有{（2n+1）-a₁，（2n+1）-a₂，…，（2n+1）-a_n，（2n+1）-b₁，（2n+1）-b₂，…，（2n+1）-b_n}={1，2，3，…，2n}，
所以{c_n}，{d_n}也必為“n項相關數列”．
再證數列{c_n}與{a_n}是不同的數列．
假設{c_n}與{a_n}相同，則{c_n}的第二項c₂=2n+1-b₂=a₂，又a₂-b₂=2，則2b₂=2n-1，即b2=

2n-1

2

，顯然矛盾．
從而，符合條件的“n項相關數列”有偶數對．

點評：本題考查了數列的應用，考查反證法證明問題的步驟，綜合性強，在證明（III）時，構造數列{C_n}，{d_n}，證明{C_n}，{d_n}也為“n項相關數列”是關鍵．