Question

（2005•海淀區二模）設橢圓C₁的中心在原點，其右焦點與拋物線C₂：y²=4x的焦點F重合，過點F與x軸垂直的直線與C₁交與A、B兩點，與C₂交于C、D兩點，已知

|CD|

|AB|

=

4

3

（1）求橢圓C₁的方程
（2）過點F的直線l與C₁交與M、N兩點，與C₂交與P、Q兩點，若

|PQ|

|MN|

=

5

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點F（1，0），設橢圓C₁的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），解方程組

y2=4x x=1

，得C（1，2），D（1，-2），由于C₁，C₂都關于x軸對稱，故

|FC|

|FA|

=

|CD|

|AB|

=

4

3

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設l：x=ty+1，解方程組

y2=4x x=ty-1

，消元得：y²-4ty-4=0，故△=16t²+16＞0，|PQ|=

1+t2

•

16t2+16

=4（t²+1）．解方程組

3x2+4y2-12=0 x=ty+1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，故△=36t²+36（3t²+4）＞0，|MN|=

1+t2

•

12 1+t2

3t2+4

=

12(t2+1)

3t2+4

，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點F（1，0），
設橢圓C₁的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
解方程組

y2=4x x=1

，得C（1，2），D（1，-2），
由于C₁，C₂都關于x軸對稱，
∴

|FC|

|FA|

=

|CD|

|AB|

=

4

3

，
∴|FA|=

3

4

×2=

3

2

，
∴A(1，

3

2

)，∴

1

a2

+

9

4b2

=1，
∵a²-b²=c²=1，
∴

1

b2+1

+

9

4b2

=1，解得b²=3，
∴a²=4，∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設l：x=ty+1，解方程組

y2=4x x=ty-1

，消元得：y²-4ty-4=0，
∴△=16t²+16＞0，
∴|PQ|=

1+t2

•

16t2+16

=4（t²+1），
再解方程組

3x2+4y2-12=0 x=ty+1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴△=36t²+36（3t²+4）＞0，
∴|MN|=

1+t2

•

12 1+t2

3t2+4

=

12(t2+1)

3t2+4

，
由

|PQ|

|MN|

=

5

3

，即

4(t2+1)

12(t2+1) 3t2+4

=

5

3

，
解得t=

3

3

，
故直線l的方程為：y=

3

x-

3

或y=-

3

x+

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線方程的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答