Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC為正三角形，D為AC中點．
（1）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點．可得DO為△AB₁C中位線，A₁B∥OD，結合線面平行的判定定理，得A₁B∥平面BC₁D；
（2）由AA₁⊥底面ABC，得AA₁⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC₁A₁，最后由面面垂直的判定定理，證出平面BC₁D⊥平面ACC₁A；

解答： （1）證明：連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點．
∵D為AC中點，得DO為△AB₁C中位線，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面AB₁C，A₁B?平面AB₁C，
∴直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）證明：∵AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中點
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A；

點評：本題考查了直三棱柱的性質，求證線面平行、面面垂直，著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質，屬于中檔題．