Question

為迎接建黨90周年，某班開展了一次“黨史知識競賽”，競賽分初賽和決賽兩個階段進行，在初賽后，把成績（滿分為100分，分數均勻整數）進行統計，制成如圖的頻率分布表：

序號	分組（分數段）	頻數（人數）	頻率
1	[0，60）	a	0.1
2	[60，75）	15	b
3	[75，90）	20	0.4
4	[90，100]	c	d
合計		50	1

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）決賽規則如下：為每位參加決賽的選手準備四道題目，選手對其依次作答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎，若題目答完仍然只答對一道，則獲得二等獎．某同學進入決賽，每道題答對的概率P的值恰好與頻率分布表中不少于90分的頻率的值相同．設該同學決賽中答題個數為X，求X的分布列以及X的數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據所給的頻率，頻數利用頻率，頻數和樣本容量三者之間的關系列出關系式，求出式子中的字母．
（II）根據題意得到變量可能的取值，結合變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式寫出變量對應的概率，寫出分布列．做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）根據所給的頻率，頻數和樣本容量三者之間的關系得到
a=50×0.1=5，b=

15

50

=0.3，c=10，d=0.2
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=0.2×0.2=0.04，
P（X=3）=C₂¹0.2×0.8×0.2=0.064，
P（X=4）=C₃¹0.2×0.8²+0.8³=0.896
∴分布列為

X	2	3	4
P	0.04	0.064	0.896

∴E（X）=2×0.04+3×0.064+4×0.896=3.856

點評：本題考查頻率分布表，考查離散型隨機變量的分布列和期望．考查獨立重復試驗的概率公式，本題是一個綜合題目．