Question

設橢圓E：（a，b＞0）過M（2，），N（，1）兩點，O為坐標原點，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）因為橢圓E：（a，b＞0）過M（2，），N（，1）兩點，
所以，解得，所以，
橢圓E的方程為；
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，
設該圓的切線方程為y=kx+m，
解方程組，得，
即，
則△=，即，
，
，
要使，需使，
即，
所以，所以，
又，
所以，所以，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為，，
所求的圓為，
此時圓的切線y=kx+m都滿足，
而當切線的斜率不存在時切線為，
與橢圓的兩個交點為，滿足；
綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，
且，
因為，
所以，

，
①當k≠0時，，
因為，所以，
所以，
所以，當且僅當時取“=”；
②當k=0時，；
③當AB的斜率不存在時，兩個交點為，
所以此時；
綜上，|AB|的取值范圍為，即：。