Question

設橢圓E：（a＞b＞0）過M（2，），N（，1）兩點，O為坐標原點，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓E過M、N，知，由此能求出橢圓E．
（2）假設存在這樣的圓，設該圓的切線為y=kx+m，由，知（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判別式和韋達定理能求出|AB|取值范圍．
解答：解：（1）橢圓E過M、N
∴∴∴橢圓E：（5分）
（2）假設存在這樣的圓，設該圓的切線為y=kx+m，由
∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
當△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，要使
∴x₁x₂+y₁y₂=0∴
∴3m²-8k²-8=0∴
又 8k²-m²+4＞0∴∴∴
又y=kx+m與圓心在原點的圓相切
∴，即，
∴所求圓：
當切線斜率不存在時，切線為，與橢圓交于（，）
或（，），滿足
綜上：存在這樣的圓滿足條件 （9分）
∵
當k≠0時，
∴（當時取等）
當k=0時，
當k不存時，
∴（12分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．