Question

已知拋物線y²=4x，橢圓經過點M(0，

3

)，它們在x軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的點，設T的坐標為（t，0）（t是已知正實數），求P與T之間的最短距離．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的焦點坐標，進而設出橢圓方程，再根據焦點坐標求出b，a，即可求橢圓的方程；
（2）先利用設P（x，y），則|PT|═

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2），再對t的取值進行討論：①當0＜t≤

1

2

時，②當t＞

1

2

時，x=2，求得P與T之間的最短距離即可．

解答：解：（1）拋物線的焦點為（1，0）…（2分）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a2-b2=1，b=

3

…（4分）
∴a²=4，b²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）設P（x，y），則|PT|=

(x-t)2+y2

=

(x-t)2+3(1- x2 4 )

=

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2）…（8分）
①當0＜t≤

1

2

時，x=4t，即P(4t，±

3-3t2

)時，|PT|min=

3-3t2

；
②當t＞

1

2

時，x=2，即P（2，0）9時，|PT|_min=|t-2|10；
綜上，|PT|min=

3-3t2 ，0＜t≤ 1 2 |t-2|，t＞ 1 2

…（14分）
（注：也可設P(2cosθ，

3

sinθ)(0＜θ≤2π)解答，參照以上解答相應評分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．第一問涉及到了求拋物線的焦點坐標，在求拋物線的焦點坐標時，一定注意先把拋物線方程轉化為標準形式，再求解，避免出錯．