Question

（08年福建卷理）（本小題滿分12分）

　　　如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

　　　（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角 

形，求橢圓的方程；

　   （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F

任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本 

知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。滿分12分。

解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

因?yàn)椤?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323143432001.gif' width=51>為正三角形，

              所以,

即

              因此，橢圓方程為

 

 (Ⅱ) 設(shè)

           () 當(dāng)直線 與軸重合時(shí)，

           () 當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，

              設(shè)直線的方程為：

               整理得

               所以

               因?yàn)楹阌?IMG height=29 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323143439014.gif' width=132>，所以恒為鈍角.

               即恒成立.

             

                        

              又，所以對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

當(dāng)時(shí)，最小值為0，

所以， ，

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323143445027.gif' width=79>所以，即,

解得或(舍去)，即.

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.

解法二：

      (Ⅰ)同解法一.

      (Ⅱ) 解：()當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，

代人，.

因?yàn)楹阌?IMG height=29 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323143439014.gif' width=132>，，即，

           解得或(舍去)，即.

           () 當(dāng)直線與不垂直于軸時(shí)，

           設(shè)直線的方程為代入.

           得，

           故

           因?yàn)楹阌?IMG height=29 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323143439014.gif' width=132>，

           所以，

           得恒成立。

          

                     

           由題意得對(duì)恒成立。

① 當(dāng)時(shí)，不合題意；

           ② 當(dāng)時(shí)，；

           ③ 當(dāng)時(shí)，，

           解得或(舍去)，即，因此.

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.