Question

已知函數f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導數f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x²）＜

x2

2

+

1

2

的解集為

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：設F（x）=f（x）-

1

2

x，根據題意可得函數F（x）在R上單調遞減，然后根據f（x²）＜

x2

2

+

1

2

可得f（x²）-

x2

2

＜f（1）-

1

2

，最后根據單調性可求出x的取值范圍．

解答：解：設F（x）=f（x）-

1

2

x，則F′（x）=f′（x）-

1

2

∵f′（x）＜

1

2

，∴F′（x）=f′（x）-

1

2

＜0
即函數F（x）在R上單調遞減
而f（x²）＜

x2

2

+

1

2

即f（x²）-

x2

2

＜f（1）-

1

2

∴F（x²）＜F（1）而函數F（x）在R上單調遞減
∴x²＞1即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）

點評：本題主要考查了導數的運算，以及利用單調性解不等式和構造法的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．