Question

已知在（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展開式中，第9項為常數項，求：
（1）n的值；
（2）展開式中x⁵的系數；
（3）含x的整數次冪的項的個數．

Answer 1

分析：（1）根據（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展開式中，第9項為常數項，而第9項的通項公式為 T₉=2^8-n•

C

8 n

•x^2n-20，故有 2n-20=0，由此解得 n=10．
（2）由（1）可得展開式的通項公式為 T_r+1=（-1）^r•2^r-10•

C

r 10

•x20-

5r

2

．令x的冪指數等于5，求得r的值，可得展開式中x⁵的系數．
（3）由20-

5r

2

為整數，可得r=0，2，4，6，8，從而得到含x的整數次冪的項的個數．

解答：解：（1）在（

1

2

x²-

1

x

）ⁿ的展開式中，第9項為常數項，而第9項的通項公式為 T₉=

C

8 n

•2^8-n•x^2n-16•x^-4=2^8-n•

C

8 n

•x^2n-20，
故有 2n-20=0，解得 n=10．
（2）由（1）可得展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 10

•2^r-10•x^20-2r•（-1）^r•x-

r

2

=（-1）^r•2^r-10•

C

r 10

•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=5，求得r=6，故展開式中x⁵的系數為

1

24

•

C

6 10

=

105

2

．
（3）由20-

5r

2

為整數，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整數次冪的項的個數為5．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．