Question

（重慶市2011屆高三下學期第二次聯合診斷性考試文科）已知函數f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b
（1）當f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b時，求函數f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的單調區間：
（2）若函數f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的圖象過點（1，1）且極小值點在區間（1，2）內，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數 f′（x），并將導函數分解因式變形為 f′（x）=（x-1）（ax-1），便于解不等式，再確定討論標準，由于解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，需比較a與0，1的大小，故確定分當a＞1，當a=1，當0＜a＜1，當a=0，當a＜0五種情況討論，最后分別在五種情況下解含參數的一元二次不等式即可得函數的單調區間
（2）先由函數f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的圖象過點（1，1），代入得b=

a+3

6

，再結合（1）中的討論，若極小值點在區間（1，2）內，需

0＜a＜1 1＜ 1 a ＜2

，從而解得a的范圍，最后求一次函數b=

a+3

6

的值域即可得b的范圍

解答：解：（1）∵f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
當a＞1時，0＜

1

a

＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜

1

a

，由f′（x）＜0，得

1

a

＜x＜1，∴函數f（x）的增區間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）；減區間為（

1

a

，1）
當a=1時，∵f′（x）=（x-1）²≥0，∴函數f（x）的增區間為（-∞，+∞）
當0＜a＜1時，

1

a

＞1，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得1＜x＜

1

a

，∴函數f（x）的增區間為（

1

a

，+∞），（-∞.1）；減區間為（1，

1

a

）
當a=0時，f′（x）=（1-x），由f′（x）＞0，得x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1，∴函數f（x）的增區間為（-∞，1）；減區間為（1，+∞）
當a＜0時，

1

a

＜0，由f′（x）＞0，得

1

a

＜x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1或x＜

1

a

，，∴函數f（x）的增區間為（

1

a

，1）；減區間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）
綜上所述，當a＞1時函數f（x）的增區間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）；減區間為（

1

a

，1）
當a=1時，函數f（x）的增區間為（-∞，+∞）
當0＜a＜1時，函數f（x）的增區間為（

1

a

，+∞），（-∞.1）；減區間為（1，

1

a

）
當a=0時，函數f（x）的增區間為（-∞，1）；減區間為（1，+∞）
當a＜0時，函數f（x）的增區間為（

1

a

，1）；減區間為（-∞，

1

a

），（1，+∞）
（2）∵函數f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b的圖象過點（1，1）
∴1=

a

3

-

a+1

2

+1+b，∴b=

a+3

6

∵f（x）極小值點在區間（1，2）內，由（1）可知

0＜a＜1 1＜ 1 a ＜2

∴

1

2

＜a＜1
∴

7

12

＜

a+3

6

＜

2

3

∴

7

12

＜b＜

2

3

點評：本題考察了利用導數求函數的單調區間的方法，導數與函數極值的關系，分類討論的思想方法，熟練的解含參數的一元二次不等式是解決本題的關鍵