Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設D，E分別為PA，AC中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點F，使得過三點 D，E，F的平面內的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因為點E是AC中點，點D為PA的中點，所以DE∥PC．
又因為DE面PBC，PC面PBC，
所以DE∥平面PBC．
（Ⅱ）證明：因為平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥面ABC，
因為BC平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因為AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥面PAB．
（Ⅲ）解：當點F是線段AB中點時，過點D，E，F的平面內的任一條直線都與平面PBC平行．
取AB中點F，連EF，連DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因為點E是AC中點，點F為AB的中點，
所以EF∥BC．
又因為EF平面PBC，BC平面PBC，
所以EF∥平面PBC．
又因為DE∩EF=E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF內的任一條直線都與平面PBC平行．
故當點F是線段AB中點時，過點D，E，F所在平面內的任一條直線都與平面PBC平行．

【解析】（Ⅰ）證明以DE∥平面PBC，只需證明DE∥PC；（Ⅱ）證明BC⊥平面PAB，根據線面垂直的判定定理，只需證明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）當點F是線段AB中點時，證明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF內的任一條直線都與平面PBC平行．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面平行的性質的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行才能正確解答此題．