Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），則a₂₀₀₉的值為（　�。�

• A、4016
• B、4017
• C、4018
• D、4019

Answer 1

分析：因為是選擇題，可用特殊函數來研究，根據條件，底數小于1的指數函數符合題意，可令f（x）=(

1

2

)x，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數列的定義求得結果．

解答：解：根據題意，不妨設f（x）=(

1

2

)x
則a₁=f（0）=1，
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₀₉=4017
故選B

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，同時，對于客觀題不妨靈活處理，進而來提高效率，拓展思路，提高能力