Question

已知函數f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+

3

2

（ω∈R，x∈R）的最小正周期為π，且圖象關于直線x=

π

6

對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數y=1-f（x）的圖象與直線y=a在[0，

π

2

]上只有一個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據兩角和與差的公式和二倍角公式進行化簡，再由最小正周期求出ω的值，最后根據圖象關于直線x=

π

6

對稱確定函數f（x）的解析式．
（2）將（1）中函數f（x）的解析式代入到y(tǒng)=1-f（x）中，然后在同一坐標系中畫出y=1-f（x）與y=a的圖象，進而根據圖象可求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+

3

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

=sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵函數f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

|2ω|

=π，即ω=±1，
∴f（x）=sin（±2x-

π

6

）+1．
①當ω=1時，f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，
∴f（

π

6

）=sin

π

6

+1不是函數的最大值或最小值，
∴其圖象不關于x=

π

6

對稱，舍去．
②當ω=-1時，f（x）=-sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（

π

6

）=-sin

π

2

+1=0是最小值，
∴其圖象關于x=

π

6

對稱．
故f（x）的解析式為f（x）=1-sin（2x+

π

6

）．
（2）∵y=1-f（x）=sin（2x+

π

6

）在同一坐標系中作出
y=sin（2x+

π

6

）和y=a的圖象，
由圖可知，直線y=a在a∈[-

1

2

，

1

2

)或a=1時，兩曲線只有一個交點，
∴a∈[-

1

2

，

1

2

)或a=1．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應用和最小正周期的求法．考查三角函數基礎知識的簡單應用和靈活能力．