Question

19．已知正數數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{an}$），
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）歸納猜想a_n的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由S_n與a_n的關系，我們從n=1依次代入整數值，即可求出a₁，a₂，a₃；
（2）由a₁，a₂，a₃的值與n的關系，我們歸納推理出數列的通項公式，觀察到它們是與自然數集相關的性質，故可采用數學歸納法來證明．

解答 解　（1）a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
證明：①當n=1時，由a₁=$\sqrt{1}$=1得結論成立；
②假設n=k（k∈N^*）時結論成立，
即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$．
當n=k+1時，
a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{ak}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$），
從而有a_k+1²+2$\sqrt{k}$a_k+1-1=0，
又由a_k+1＞0，
解得a_k+1=$\frac{-2\sqrt{k}+\sqrt{4k+4}}{2}$=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
這說明當n=k+1時結論成立．
由①②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$對任意正整數n都成立．

點評 本題（2）中的證明要用到數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立