Question

若非零向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=λ|

b

|(λ≥2)，則

a

+

b

與

a

-

b

夾角的最大值為（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  2

• C．

  2π

  3

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：由題意可得，以

a

、

b

為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等，都等于|

b

|的λ倍．設

a

+

b

與

a

-

b

夾角為θ，由余弦定理求得 cosθ=1-

2

λ2

．由 λ≥2 求得 cosθ 的范圍，從而求得θ的最大值．

解答：解：∵非零向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=λ|

b

|(λ≥2)，則以

a

、

b

為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等，都等于|

b

|的λ倍．
如圖所示：設矩形ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，AC與 BD交與點O，則

a

+

b

與

a

-

b

夾角等于∠AOD，
設

a

+

b

與

a

-

b

夾角為θ，|

b

|=x，在△AOD中，由余弦定理可得 x²=(

λx

2

)2+(

λx

2

)2-2•

λx

2

•

λx

2

•cosθ，
解得 cosθ=1-

2

λ2

．
∵λ≥2，∴

2

λ2

≤

1

2

，∴cosθ≤

1

2

．
再由0≤θ≤π 可得 θ≥

π

3

，故θ的最大值為

π

3

，
故選A．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量夾角公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．