Question

已知函數y=sinx+acosx的圖象關于x=

5π

3

對稱，則函數y=asinx+cosx的圖象關于直線（　　）

• A．x=

  π

  3

  對稱
• B．x=

  2π

  3

  對稱
• C．x=

  11π

  6

  對稱
• D．x=π對稱

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數化簡函數y=sinx+acosx為y=

1+a2

sin（x+φ），tanφ=a，通過函數的圖象關于x=

5π

3

對稱，推出

5π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，可求得φ=kπ-

7π

6

，由此可求得a=tanφ=tan（kπ-

7π

6

）=-

3

3

，將其代入函數y=asinx+cosx化簡后求對稱軸即可．

解答：解：y=sinx+acosx變為y=

1+a2

sin（x+φ），（令tanφ=a）
又函數的圖象關于x=

5π

3

對稱，
∴

5π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，可求得φ=kπ-

7π

6

，
由此可求得a=tanφ=tan（kπ-

7π

6

）=-

3

3

，
函數y=-3

3

sinx+cosx=2

7

sin（x+θ），（tanθ=-

3

）
其對稱軸方程是x+θ=kπ+

π

2

，k∈z，
即x=kπ+

π

2

-θ
又tanθ=-

3

，故θ=k₁π-

π

3

，k₁∈z
故函數y=asinx+cosx的圖象的對稱軸方程為x=（k-k₁）π+

π

2

+

π

3

=（k-k₁）π+

5π

6

，k-k₁∈z，
當k-k₁=1時，對稱軸方程為x=

11π

6

故選C．

點評：本題考查三角恒等變形以及正弦類函數的對稱性質，是三角函數中綜合性比較強的題目，比較全面地考查了三角函數的圖象與性質．