Question

（2012•平遙縣模擬）已知f(x)=

a-x2-4x(x＜0) f(x-2)(x≥0)

，且函數y=f（x）-2x恰有3個不同的零點，則實數a 的取值范圍是（　　）

A．[-4，0]

B．[-8，+∞）

C．[-4，+∞）

D．（0，+∞）

Answer 1

分析：當x≥0時，f（x）=f（x-2），可得當x≥0時，f（x）在[-2，0）重復的周期函數，根據x∈[-2，0）時，y=a-x²-4x=4+a-（x+2）²，對稱軸x=-2，頂點（-2，4+a），進而可進行分類求實數a的取值范圍．

解答：解：因為當x≥0的時候，f（x）=f（x-2），
當x∈[0，2）時，x-2∈[-2，0），此時f（x）=f（x-2）=a-（x-2）²-4（x-2）
當x∈[2，4）時，x-4∈[-2，0），此時f（x）=f（x-2）=f（x-4）=a-（x-4）²-4（x-4）
依此類推，f（x）在x＜0時為二次函數a-x²-4x=-（x+2）²+a+4，
在x≥0上為周期為2的函數，重復部分為a-x²-4x=-（x+2）²+a+4在區間[-2，0）上的部分．
二次函數a-x²-4x=-（x+2）²+a+4頂點為（-2，a+4），
y=f（x）-2x恰有3個不同的零點，即f（x）與y=2x恰有3個不同的交點，
需滿足f（x）與y=2x在x＜0時有兩個交點且0≤a+4≤4或f（x）與y=2x在x＜0時有兩個交點且a+4＞4
∴-4≤a≤0或a＞0
綜上可得a≥-4
故選C

點評：本題重點考查函數的零點與方程根的關系，考查函數的周期性，有一定的難度．