Question

已知對任意的實數m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）當x∈[-1，1]時，函數y=f（x）的圖象上是否存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于．試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直線x+y+m=0得直線斜率為-1，直線x+y+m=0不與曲線f（x）相切知曲線f（x）上任一點斜率都不為-1，即f′（x）≠-1，求導函數，并求出其范圍[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，得實數a的取值范圍；
（II）轉化問題，等價于當x∈[-1，1]時，|f（x）|_max≥，設g（x）=|f（x）|，觀察出g（x）在[-1，1]上是偶函數，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函數單調性時，因為含有參數，所以要對參數進行討論，分為兩類求解，在每一類都可證明g（x）_max≥，問題得證．
解答：解：（I）f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵對任意的實數m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴實數a的取值范圍為a＜；
（II）存在，證明：問題等價于當x∈[-1，1]時，|f（x）|_max≥，
設g（x）=|f（x）|，則g（x）在[-1，1]上是偶函數，
故只要證明當x∈[0，1]時，，
①當a≤0時，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞；
②當0＜a＜時，f′（x）=3x²-3a=3（x+）（x-），
令f′（x）＜0，得0＜x＜，令f′（x）＞0得＜x＜1，
∴f（x）在[0，]上單調遞減，在[，1]上單調遞增，
注意到，且＜＜1，
∴x∈（0，）時，g（x）=-f（x），x∈（，1]時，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（）}，
由及，解得，此時成立．
∴．
由及，解得，此時成立．
∴．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個x，使得|f（x）|≥成立，
即當x∈[-1，1]時，函數y=f（x）的圖象上至少存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于．
點評：本題考查導數在最大值，最小值問題中的應用，難點之一為利用導數求函數單調性時，式子里面有參數，要對參數進行分類討論，難點之二要清楚原函數f（x）的零點，排除f（0）為最大值的可能，同時得出g（x）與f（x）的關系．