Question

已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到x軸的距離不小于．試證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜；
（II）存在，證明：問題等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|_max≥，
設(shè)g（x）=|f（x）|，則g（x）在[-1，1]上是偶函數(shù)，
故只要證明當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞；
②當(dāng)0＜a＜時(shí)，f′（x）=3x²-3a=3（x+）（x-），
令f′（x）＜0，得0＜x＜，令f′（x）＞0得＜x＜1，
∴f（x）在[0，]上單調(diào)遞減，在[，1]上單調(diào)遞增，
注意到，且＜＜1，
∴x∈（0，）時(shí)，g（x）=-f（x），x∈（，1]時(shí)，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（）}，
由及，解得，此時(shí)成立．
∴．
由及，解得，此時(shí)成立．
∴．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個(gè)x₀，使得|f（x₀）|≥成立，
即當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上至少存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到x軸的距離不小于．
分析：（I）由直線x+y+m=0得直線斜率為-1，直線x+y+m=0不與曲線f（x）相切知曲線f（x）上任一點(diǎn)斜率都不為-1，即f′（x）≠-1，求導(dǎo)函數(shù)，并求出其范圍[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）轉(zhuǎn)化問題，等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|_max≥，設(shè)g（x）=|f（x）|，觀察出g（x）在[-1，1]上是偶函數(shù)，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，因?yàn)楹�有參�?shù)，所以要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，分為兩類求解，在每一類都可證明g（x）_max≥，問題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問題中的應(yīng)用，難點(diǎn)之一為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，式子里面有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，難點(diǎn)之二要清楚原函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，排除f（0）為最大值的可能，同時(shí)得出g（x）與f（x）的關(guān)系．