Question

（2012•香洲區模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點A為拋物線y²=8x的焦點，上頂點為B，離心率為

3

2

（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(0，

2

)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，若線段PQ的中點橫坐標是-

4 2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點A為拋物線y²=8x的焦點，確定a的值，根據離心率，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（2）直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，根據線段PQ的中點橫坐標是-

4 2

5

，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）拋物線y²=8x的焦點為A（2，0），
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點A為拋物線y²=8x的焦點
∴a=2…（2分）
∵離心率e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

…（3分）
故b²=a²-c²=1…（5分）
所以橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1…（6分）
（2）設直線l：y=kx+

2

由

y=kx+ 2 x2+4y2=4

，消去y可得(4k2+1)x2+8

2

kx+4=0…（8分）
因為直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，所以△=128k²-16（4k²+1）＞0
解得|k|＞

1

2

…（9分）
又x1+x2=

-8 2 k

4k2+1

，x1x2=

4

4k2+1

…（10分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點M（x₀，y₀）
因為線段PQ的中點橫坐標是-

4 2

5

，所以x0=

x1+x2

2

=

-4 2 k

4k2+1

=-

4 2

5

…（12分）
解得k=1或k=

1

4

…（13分）
因為|k|＞

1

2

，所以k=1
因此所求直線l：y=x+

2

…（14分）

點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．