Question

19．已知F₁、F₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的左、右焦點，過點F₁且與x軸垂直的直線與雙曲線左支交于點M，N，已知△MF₂N是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得∠MF₂F₁=45°，從而|MF₁|=|F₁F₂|，求出關于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．

解答 解：∵△MF₂N是等腰直角三角形，∴∠MF₂N為直角，
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線MN垂直x軸，
∴∠MF₂F₁=45°，
∴|MF₁|=|F₁F₂|，∵F為左焦點，設其坐標為（-c，0），
令x=-c，則有y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|MF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，∴c²-2ac-a²=0
∴e²-2e-1=0
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數關系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．