Question

在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x²+y²=4，若直線kx-4y+16=0上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則K的取值范圍

（-∞，-

4 7

3

]∪[

4 7

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標與半徑r，由題意得到直線kx-4y+16=0與圓C′：x²+y²=9有公共點，可得出圓心到直線的距離d小于等于3，利用點到直線的距離公式列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答：解：由圓的方程x²+y²=4，得到圓心C（0，0），半徑r=2，
∵直線kx-4y+16=0上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，
∴直線kx-4y+16=0與圓C′：x²+y²=9有公共點，
∴圓心到直線的距離d≤3，即

16

k2+16

≤3，
解得：k≥

4 7

3

或k≤-

4 7

3

，
則k的范圍為（-∞，-

4 7

3

]∪[

4 7

3

，+∞）．
故答案為：（-∞，-

4 7

3

]∪[

4 7

3

，+∞）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，以及不等式的解法，解題的關鍵是將條件化為“直線kx-4y+16=0與圓C′：x²+y²=9有公共點”．