Question

【題目】已知函數(shù)，，（常數(shù)）.

（I）當(dāng)與的圖象相切時(shí)，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，討論在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)；時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（I）設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)A 的斜率，寫出切線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合待定系數(shù)法，即可求出的值。

（Ⅱ）將變形得到， 當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.有最小值 ，對(duì)進(jìn)行討論得出在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

（I）設(shè)切點(diǎn)為，，

所以過點(diǎn)的切線方程為，即，

所以，解得：.

（Ⅱ），設(shè)函數(shù)，

在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，

當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，；時(shí)，，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

故是在的最小值.

①若，即，在沒有零點(diǎn)；

②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；

③若，即，由于，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上，時(shí)，在上沒有零點(diǎn)；時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).