Question

（本小題滿分14分）

一個幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，如圖3所示，其中，，，．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的大小．

 

Answer 1

（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間線線、線面關系，二面角，三視圖等知識，考查化歸與轉化數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力．）

方法1：（1）證明：因為，，所以，即．

又因為，，所以平面．

因為，所以．………………………………………4分

（2）解：因為點、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設圓的半徑為，圓柱高為，根據正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．…………………………………………………………………7分

過點作于點，連接，

由（1）知，，，所以平面．

因為平面，所以．

所以為二面角的平面角．………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△為直角三角形．

在△中，，，則．

由，解得．

因為．………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小為．………………………………14分

方法2：（1）證明：因為點、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設圓的半徑為，圓柱高為，根據正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．……………………………………………3分

以點為原點，、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，，．

…………………5分

因為，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：設是平面的法向量，因為，

所以即

取，則是平面的一個法向量．……………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一個法向量．………………………………12分

因為，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小為．……………………………………14分

方法3：（1）證明：因為，，所以，即．

又因為，，所以平面．

因為，

所以．……………………………………………………………………4分

（2）解：因為點、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設圓的半徑為，圓柱高為，根據正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．……………………………………………………7分

以點為原點，、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，，．

……………9分

設是平面的法向量，

則即

取，則是平面的一個法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一個法向量．……………………………12分

因為，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小為．……………………………………14分