Question

（本小題滿分13分）

如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線 截得的線段長等于C₁的長半軸長。

（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；

（Ⅱ）設C₂與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與C₂相交于點A,B,直線MA,MB分別與C₁相交與D,E．

（i）證明：MD⊥ME;

（ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得?請說明理

由。

Answer 1

（Ⅰ）由題意知

故C₁，C₂的方程分別為

（Ⅱ）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為.

由得

^.

設是上述方程的兩個實根，于是

又點M的坐標為（0，—1），所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

（ii）設直線MA的斜率為k₁，則直線MA的方程為解得

則點A的坐標為.

又直線MB的斜率為，

同理可得點B的坐標為

于是

由得

解得

則點D的坐標為

又直線ME的斜率為，同理可得點E的坐標為

于是.

因此

由題意知，

又由點A、B的坐標可知，

故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為